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FORMULAS DIVERSAS y PRACTICAS |
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RELACIONADAS CON ASTROFOTOGRAFÍA |
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________________________ Dada la importancia de este parámetro en una observación, presentamos el cálculo practico siguiente, conociendo como premisa que la velocidad aparente de desplazamiento es de 15 segundos de arco por cada 1 segundo de tiempo el "campo aparente" de ese Ocular para un Telescopio concreto, se calculará con el Telescopio parado, verificando el tiempo "T" en seg., que tarda en recorrer el diámetro de dicho ocular y luego aplicando la fórmula siguiente, en función de la Declinación "a" de dicha estrella "Campo aparente del Ocular" = Ts x 15"/s x cos a
Vendrá dado por la fórmula, que nos permitirá calcular los aumentos con Barlow o Proyección por Ocular, e incluso las reducciones mediante Reductoras de focal, para que nos quepa en el film o chip utilizado, de los que conocemos su anchura y altura "Tamaño en mm " = Ø del objeto en segundos de arco x DF en mm / 206265
Las diferentes composiciones: Foco Primario, Barlow, Reductor de focal, Proyección de Ocular, etc., permiten variar la distancia focal "DF" y por tanto aumentos considerables por el efecto de variación del campo abarcado.
Debido al movimiento de rotación de la Tierra, las estrellas se desplazan aparentemente, por lo que si no aquilatamos debidamente el tiempo de exposición, obtendremos al fotografiar estrellas, trazos en vez de puntos. Existe una relación, fácilmente demostrable, que nos da el valor del tiempo de exposición en función de varios parámetros: E = L / ( tg H x F )
Dada las preguntas relacionadas con el “Tele Extender” y su aplicación para el procedimiento “Proyección por Ocular”, adjunto imagen en donde se muestran dos tipos “el FIJO” y “el VARIABLE”, que permiten situar y fijar en su interior el Ocular correspondiente. También se muestran algunos anillos de fijación, para Cámaras, Telescopios, etc., cuyos diámetros, rosca y tipo dependerán de los que acepten los equipamientos en lo que se deba enroscar.
Supongamos que desde el plano de lentes del Ocular en el Tele Extender hasta el plano del sensor fotográfico, tenemos una distancia de 70 mm, utilizando un Ocular de 12,5 mm df, más una Barlow x2 Fórmula clásica:
Equivale a un Telescopio, que tuviese una DF de 6900 mm, naturalmente con esa distancia focal, se capta (en el primer planteo y DF de 8.400mm en el segundo) a mejor y con más detalles el Cráter en cuestión, p.e. Pero los aumentos resultantes (380,6X), en este ejemplo hipotético, nos han salido superiores a lo que teóricamente puede el telescopio en cuestión (354,3X), lo que “no nos asegura la nitidez y el detalle”, e incluso el ajuste de “puesta en estación” debe ser muy perfecto, para que no se note tanto y suponiendo que no exista nada de viento. Todo ello hace pensar, que hemos preparado un incremento demasiado grande, proponiendo por ejemplo sacar la Barlow, obteniéndose para el mismo cálculo una nueva DFeq de 4200 mm y por tanto un aumento equivalente de 190,3X más acorde con la apertura 150 mm Ø del telescopio del ejemplo. (ver por relacionado TABLA_01 de composiciones)
Una imagen captada por un Telescopio, llega tras los diferentes oculares, o sin ellos, etc., hasta el film de la cámara fotográfica en donde quedará registrada a punto del revelado y el tamaño, o mejor el diámetro del Objeto fotografiado sobre el film de la cámara fotográfica, vendrá dado por: Ø = ( Ø” x DFeq ) / 206265”
Naturalmente nos indica este resultado, que hemos aplicado un aumento excesivo y cabrá la “Luna” casi totalmente en un film de formato 60x90, que es para cámaras algo caras y en las de formato más corriente de 24x36 naturalmente solo cabrá la mitad. Este tipo de aumentos o mayores, sería más aplicable para captar con detalles: Cráteres de la Luna, Manchas en el Sol, Protuberancias en el Sol, etc. A = ( Dist – dfoc ) / dfoc
ASTROFOTOGRAFIA con CAMARAS DIGITALES, CCD, CMOS, NMOS El campo captado por la CCD dependerá básicamente de: “Tamaño del chip” y de la “Focal equivalente” Campo = ( H / DFeq ) x 57º17’44,8”
En ocasiones es de interés, conocer el “poder resolutivo del Telescopio” , por su interés en la captación de detalles, lo que nos lleva a conocer cuál debería ser la DFeq y con el dato proceder con Oculares, Reductores, etc.: DFeq = ( P x 206265 ) / PR
Habitualmente la cámara CCD trabaja a foco primario en cualquier telescopio: esto proporciona un campo aparente y un aumento determinado como ya sabemos; en este caso la resolución máxima dependerá directamente de la focal y de la resolución teórica del instrumento: a mayor focal mayor poder resolutivo en la imagen obtenida, dentro de los límites teóricos del telescopio que depende directamente del diámetro del objetivo. Trabajando con un catadióptrico Schmidt-Cassegrain p.e. de 8” Ø 203,2 mm de diámetro Ø y 1.833,88mm de DFeq, la cámara “ST-4” en B/N captura un campo de 291" y sabiendo que tiene 165 pixeles de lado el poder resolutivo será: 291" : 165 pixeles = 1,76 " cada pixel He redondeado los valores del campo aparente obtenido y el número de pixeles (puesto que en realidad la cámara posee 192 x 165 pixeles por lo cual la resolución es ±1,76" x ±1,51" según el eje) para tener una idea aproximada de los límites de la misma y cuando la focal se duplique a 4.000 mm este valor puede descender a 0,77" pixel. Como el poder resolutivo teórico de un catadióptrico de Ø 203,2mm es casi 0,6" sería inútil tratar de superar dicho valor en este aparato duplicando de nuevo la focal; otra cosa es emplear un telescopio de mayor diámetro (un Ø 300mm por ejemplo) cuya resolución teórica sería de 0,4" si la atmósfera lo permitiese (lo cual es altamente improbable incluso sí trabajamos desde un lugar de alta montaña). Ya puestos, a veces nos puede interesar conocer la resolución teórica del pixel en función de la distancia focal equivalente con la que trabajemos; esto puede determinarse por la fórmula: PR = ( P x 206.265 ) / DFeq en donde P es el tamaño del pixel (en mm), 206.265 una constante y DFeq del instrumento; de este modo si trabajo con la “MX5” acoplada al catadióptrico de DFeq = 2000mm obtengo entonces una resolución teórica de:
Cantidad que está bastante por debajo del valor de la turbulencia media de un observatorio; si acoplo la misma CCD a un instrumento con una distancia focal de DFeq = 1.000 mm la resolución será:
La resolución teórica es ahora más aproximada al valor habitual de la turbulencia y por tanto las imágenes obtenidas a “Foco primario” se verían menos afectadas, que si las obtengo con mi instrumento. Sin embargo en el momento en que se capturen sistemas estelares notamos que este valor rápidamente se degrada ya que la luz se difunde en el chip debido a la turbulencia, la refracción de la luz en el objetivo del telescopio y a que los astros “engordan” al acumular luz: por ello no podremos resolver sistemas cuya separación sea inferior a 10 segundos de arco en los mejores casos salvo que se hagan tomas brevísimas (y ello, a veces, nos impide capturar la secundaria si ésta es más débil que la primaria), se impone por tanto alargar la focal.
CAMARAS DIGITALES a “FOCO PRIMARIO”En el caso más simple, el detector CCD se coloca directamente en el plano focal del telescopio (foco primario o foco Cassegrain – ambos sin Optica -. En el caso más complejo se añade delante del CCD un Ocular – en el TeleExtender – para poder “magnificar” – aumentar – o “reducir” la escala sobre el detector. Dado que el mejor componente óptico en un telescopio es el telescopio mismo, para aplicaciones de imagen con CCD, lo más recomendable es colocar directamente el CCD en el plano focal (directamente a “Foco primario” en un telescopio como los S.C.) La escala en el CCD (medida en segundos de arco por milímetro), vendría dada en principio por: PStel = 206.265 / Feq
Para poner un ejemplo bonito, en el telescopio llamado CFHT, en el observatorio de MaunaKea en Hawaii, la cámara CCD a "Foco Primario" tiene una escala de 13,7 seg./mm. De ahí que para captar grandes campos en el “cielo profundo” utilice el mayor mosaico de CCD actual del mundo. Cada uno de los 40 CCD’s tiene 2000 x 4000 pixeles y en su conjunto barre un campo de 1º x 1º, con una resolución de 0,187 segundos por pixel – en donde cada pixel tiene 0,015mm de lado, para poder muestrear adecuadamente los 0,7 segundos, que de media tiene el seeing en ese observatorio. Volviendo a la realidad práctica de nuestro hobby, para una imagen directa a “Foco primario”, el ángulo del Cielo subtendido “q” por cada pixel del detector viene dado por:
El ojo humano sin cristalino sigue teniendo una lente potente que es el conjunto de córnea y humor acuoso. Si se eliminara del todo el poder dióptrico del ojo entonces actuaría como una cámara sin objetivo. Esto sólo tendría sentido si alguien quisiera implantarse de forma permanente un teleobjetivo en el ojo. De todas formas no es un tema de ciencia-ficción. Hay en el mercado "Telescopios intraoculares" para mejorar la visión en enfermedades de la retina. Si te interesa puedes introducir "Intraocular telescopes" en cualquier buscador. Para establecer una equivalencia entre aumentos y distancia focal a foco primario, hay que considerar el tamaño de la superficie sensible que se use. El aumento puramente aparente, lo obtendríamos:
DISTANCIAS y SU CALCULO en “Cielo Profundo” Generalmente se utiliza el “sistema de Paralaje”, consistente en obtener dos ángulos de referencia para la observación de un Objeto celeste, situando estos puntos de observación a una cierta distancia. En la práctica, para cielo profundo y como las distancias son enormes, se acostumbra a situar estos puntos de observación separados medio año, es decir dos distancias sumadas Tierra – Sol y dividiéndolas por dos obtendremos para cada punto de observación, un ángulo a y b según la posición del año, apuntando al Objeto. Luego cada vez con uno de ellos obtenemos triángulos rectángulos, de los que conocemos la base, que es un cateto (una de las distancias al Sol ) y el ángulo de la base “a” y “b” naturalmente opuesto al Sol, ya que el de él será el ángulo recto (90º). Por simple trigonometría podemos obtener el otro Cateto, que será la distancia media al Objeto en cuestión.
De tener la posibilidad de contactar al momento con alguien situado en el otro punto muy distante de nuestro Observatorio, podríamos aplicar el “Teorema de los Senos” y obtendríamos de inmediato la distancia perpendicular al plano de observación y por tanto la distancia media al Objeto. Conocidas sus coordenadas, poder obtener la distancia entre dos Objetos de Cielo Profundo, e incluso el Campo cubierto por ellos. Todo ello simplemente situando sus coordenadas ecuatoriales AR y DEC en la TABLA_02 considerando el firmamento plano Para calcular la distancia a una "Cefeida", debemos saber dos cosas, la magnitud visual media de la estrella variable, y el período de su variación. Para eso nos vamos al campo con un telescopio durante unos cuantos meses y vamos calculando el diagrama período-luminosidad de la "Cefeida" en cuestión. Esto se hace apuntando la magnitud visual de la estrella cada cierto tiempo (por un método que hay que no requiere ningún instrumento, sólo los ojos) y luego construyendo una curva en un sistema de coordenadas donde en el eje "y" pondremos la magnitud visual y en el "x" el tiempo. Por lo visto hace algún tiempo Pogson calculó que las estrellas de sexta magnitud eran 100 veces menos brillantes, que las estrellas de primera magnitud. De este modo la diferencia de brillo por cada magnitud es: raíz quinta de 100 = 2,5118864. Por lo tanto y para hacerlo matemático tenemos que:
2,5119 m'- m = B/B' donde, m es la magnitud visual de una estrella y con el signo m' la magnitud visual de otra estrella, B es el brillo o luminosidad de dicha estrella y con el signo B' el de la otra. Si esto no lo ves, no te preocupes, esta expresión matemática está sacada simplemente de razonar lo que descubrió Pogson. Despejamos y tenemos que: m'- m = 2,5 log (B / B'). Como el brillo de una estrella es directamente proporcional al cuadrado de la distancia a ella tenemos que m' - m = 2,5 log (D / D')2 donde "D" es la
distancia a una estrella. Despejando el "elevado al cuadrado" y
teniendo en cuenta que hay un logaritmo nos sale que m' - m = 5 log (D/D'). Si
no has seguido esto (no sé que nivel tienes de mates) no te preocupes, solo es
ir despejando y haciendo cuentas. M - m = 5 log (10 / D) Despejando tenemos que M - m = 5 - 5 log D. Sabiendo M podríamos saber la distancia, sin embargo el brillo de la estrella se ve mermado por el polvo que existe entre ella y nosotros, lo que aparenta que brille menos, por eso debemos tener en cuenta el coeficiente de extinción estelar (Av) que es un valor muy variable, pero podemos coger este dato, el cual lo he sacado de Internet, Av = 0,141. Así nos queda que M- m = 5 - 5 log D - Av. Más tarde se estableció
experimentalmente que M = - 2,25 log P - 1,5 donde "P" es el período
de la estrella variable.
De este modo fabricándote tu curva período-luminosidad tras noches de frío, sabrás la magnitud visual media (m) de la estrella en cuestión y el período (P). Sustituyendo calculas la distancia. EJEMPLO: Bien, tu profesor te ha dado el dato de m = 0 pero no te ha dado el dato del período P, lo cual es dificultoso. Dices que se trata de una estrella variable de un cúmulo en Hércules. Estoy seguro que no se trata de un cúmulo globular porque la magnitud es 0,0 y estas estrellas brillan muy poco, así que se tratará de alguna estrella de un cúmulo abierto. Busqué por Internet a ver si encontraba qué cúmulos abiertos y que estrellas variables hay en ellos en la constelación de Hércules, pero nada. Así que supongo que tu profesor lo que quiere es que busques qué tipos de estrellas "Cefeida" hay, ya que según el tipo de "Cefeida" el período P será más o menos corto. Considerando que se trata de una "Cefeida" clásica, el período de éstas varía entre 1 y 150 días. Vamos a hacer la media aritmética de estas cantidades (1 + 150 / 2 = 75,5 días) y calculamos la distancia de esta supuesta estrella sustituyendo en las fórmulas anteriores. Me sale que la distancia es de 130,88 parsec. Lo multiplicamos por 3,26 y nos da la distancia en años_luz. D = 426,7 años_ luz. Recuerda que todo depende de cuanto hayamos cogido para el período P de la estrella.
Obtenida sobre la base de cien posibilidades, es decir que cada diferencia de brillo o magnitud será la raíz quinta de cien = 2,512 (escala de Pogson) [A una diferencia de cinco magnitudes, corresponde un factor cien de brillo]
La relación de brillos correspondiente a una diferencia de dos magnitudes es 2,5122 a tres será 2,5123 y en general:
Dado que la escala es diferencial, Pogson estableció como valores referencia y por tanto magnitud = 1, las estrellas Aldebarán y Altair, obteniendo por diferentes cálculos y precisiones necesarias, valores ejemplo: 3,02 etc. Esta escala ha sido modificada para obtener por necesidad de ampliar el campo de posibilidades, a negativos y superiores permitiendo obtener un abanico más amplio de valores, por ejemplo: Sirius con una Map = –1,46 y Rigel con una Map = 0,08 La Aparente que obtendríamos si estuviese situado el Objeto a 10 parsec de distancia; Consiguiendo cálculos sobre distancia con un método más eficaz, dado que en el anterior (el trigonométrico) se trabaja con ángulos muy cercanos a los 90º, por lo que su precisión se reduce muchísimo, ya que generalmente trabajaremos con segundos, décimas y centésimas de segundo.
Incorporamos en estas descomunales conclusiones obtenidas de las fórmulas, el signo ±, porque, la evolución de las técnicas, nos indican existir:
MAGNITUD de PROTUBERANCIAS SOLARES Procedimiento práctico seguido: Efectúo una impresión de la imagen captada de una protuberancia, en tamaño DIN A4 y procedo a tomar cotas:
y siendo que el ángulo a = j verlo en el dibujo, obtenemos sen j = ( AD / 2 ) / R por tanto el radio R del Sol, en esa imagen en tamaño DIN A4, será R (AO) = AD / 2 sen j = 1129,73 mm
Y conociendo que el Ø Sol = ± 1391.000 Km, su radio será de ± 695.500 Km, y como en nuestra imagen la protuberancia mide ± 175 mm, por una simple regla de tres ( 1129,73 mm es a 695.500 Km como 175 mm es a X Km ) obtenemos, que la protuberancia en cuestión, medirá esos ± 107.736 Km Referente sobre una imagen concreta, en animación OBJETOS y SATELITES en ORBITAS
Entre 112 y 160 Km de altura snm es la de futuros "aviones espaciales", que entre New York y Tokyo tardaría ± 12m Desarrollo por ejemplo, de una órbita "GEO": La velocidad angular ω se obtiene al dividir el ángulo realizado en una revolución 360º = 2 p rad. (1 radián = 57º17'44,8'') por su "período orbital" (el tiempo que tarda en realizar una revolución completa) es un "día sideral" = 23h 56m 04,09s = 86.164,09 seg.). El resultado es: w = 2 p / día sideral = 2 p / 86.164,09 = 7,29 x 10-5 rad/s r = (µ / w2)1/3 = [ (398.600 / ( 7,29 x 10-5 )2 ]1/3 = 42.164 Km Siendo µ = 398.600 (parámetro fijo gravitacional de la Tierra) y el radio orbital resultante (r) es igual a ± 42.164 Km.
restando ± 6.378 Km, del radio ecuatorial terrestre, obtenemos una altitud de ± 35.786 Km.
La velocidad orbital de satélites GEO se puede calcular multiplicando su velocidad angular por el radio orbital: v = w r = 7,29 x 10-5 rad/s x 42.164 Km = 3,07 Km/s = 11.068 Km/h Velocidad esta, que un satélite artificial "GEO" necesita, para permanecer en órbita
Por su interés relacionado, ver BASURA ESPACIAL VELOCIDAD INTERNET -- MEDIR LA VELOCIDAD DE "ADSL"
Por ello vamos a indicar algunos conceptos, que son del dominio general y algo comercializadas en su presentación y no siempre bien aclaradas, a mi criterio: En principio se ha de tener en cuenta, si el que Comercializa, es decir factura el consumo, es o no el propietario de la Línea telefónica que se denomina "Portabilidad", ya que de no serlo se recibirán dos facturas: Una de la Propietaria de la línea y otra de la Comercializadora, lo que casi nunca indican las Comercializadoras, que tienden a indicar sus bajos costes..., claro solo de comercialización sin indicar que luego recibiremos la factura de línea. Por Ley en España, se garantiza un servicio del 10% de la velocidad nominal contratada, aunque por razones técnicas se consigue superar el 40%, es decir una contratación denominada de 3 MB ( 3072 Kbps ) es corriente utilizarla sobre los 1.500 Kbps en bajada, por 180 Kbps en subida, y una contratación de 10 MB (10240 Kbps) ronda los 5800 Kbps en descarga y los 260 Kbps en carga, naturalmente según zonas y momentos.
Mbps, Kbps, MB, KB, ...
Los Comerciales que promocionan las ADSL, normalmente ofertan la velocidad de su conexión en megas ( Mbps, megabits por segundo o incluso MB ), pero de tal modo que solo mencionan "por lo general" sus servicios, pero sin mencionar el coste añadido de línea, que solo dispone la Compañía propietaria de la red, Por ejemplo la Telefónica (España) oferta entre otras, las ADSL siguientes:
es decir las velocidades en descargas para la ADSL con nominal de " 3 Mbps " estarían operativas entre 1229 Kbps y 2458 Kbps y para la nominal de " 10 Mbps ", entre 4096 Kbps y 8192 Kbps Esto confunde a algunos usuarios, que miden la información en bytes ( Kbytes, Mbytes ) y prefieren saber el número de Kb/s.
Es decir y por ejemplo:
Una conexión ADSL nominal de 3 megas ( 3 MB ) ofrece una descarga máxima de 375 Kb/s ( 3.072.000 / 8.192 = 375 ) lo que quiere decir que: Un software o imagen de "peso": ± 40 Mbytes ( 40 MB ) podría descargarse en ± 106,7 segundos. ( 40.096 / 375 = 106,9 ), y por las razones comentadas del rendimiento mínimo garantizado sobre el nominal de velocidad al ± 40 % conseguiremos la misma descarga, sobre los 266,3 segundos ( 106,9 / 0,40 = 266,7 ) y como orientación, la ADSL mía (1ª línea) de 3 MB trabaja en una media del ± 61 % de rendimiento por tanto lo descargaría en ± 175,3 segundos
Una conexión ADSL nominal de 10 megas ( 10 MB ) ofrece una descarga máxima de 1250 Kb/s ( 10.240.000 / 8.192 = 1250,0 ) lo que quiere decir que: Un software o imagen de "peso": ± 40 Mbytes ( 40 MB ) podría descargarse en ± 32 segundos. ( 40.096 / 1250 = 32,1 ), y por las razones comentadas del rendimiento mínimo garantizado sobre el nominal de velocidad al ± 40 % conseguiremos la misma descarga, sobre los 80 segundos ( 32,1 / 0,40 = 80,2 ) y como orientación, la otra ADSL mía (2ª ínea) de 10 MB trabaja en una media del ± 61 % de rendimiento por tanto lo descargaría en ± 52,6 segundos
Pulsemos cualquiera de las direcciones siguientes, o incluso la dos, para obtener una media : En esas páginas nos muestran diferentes archivos con capacidades "pesos" diferentes, para permitir verificar la "velocidad de transferencia", es decir relacionando el "tiempo que tardará en descargarlo" y sus "pesos"
Recordemos: 1B = 8b y 1MB = 1024 Kb (B ) Byte - (b) bite - (M) Mega - (K) Kilo EJEMPLO SOBRE EL PRIMER TEST (valores analógicos)
EJEMPLO SOBRE EL SEGUNDO TEST (diagrama de barras)
Como se han efectuado las medidas en una ADSL de nominal 10 Mbps, entendemos que trabaja en su media de 6.779 Kbps al 67,8 % de rendimiento, en ese momento concreto, que está dentro de las posibilidades de trabajo entre el 40 % y el 80 % sobre la nominal contratada, debido a deficiencias y pérdidas entre líneas, tráfico en zona, etc., y Router, que deberemos verificar con asiduidad, para detectar posibles deficiencias y proceder a la reclamación pertinente.
Un ejemplo, dependiendo del estado de la línea en ese momento: Supongamos un archivo de imagen, que ocupe 25,73 MB en una ADSL de nominal 10 MB TIEMPO en la DESCARGA (bajada) ± Conociendo los Kbps podremos obtener el tiempo de Descarga de ese archivo: 10.240.000 / 8.192 = 1.250 y 25.730 / 1.250 = 22,58 seg que al trabajar al 67,8% quedará en 30,36 seg. TIEMPO en la CARGA (enviar) ± En la siguiente verificación se obtienen los Kbps de la Carga que suponemos según el momento estén para esa ADSL de nominal 10 MB con las velocidades obtenidas, para ese momento, de 6.688 Kbps y 265 Kbps respectivamente, obteniendo: 6.688 / 265
= 25,24
Todo lo expuesto, nos encamina a pensar que por el "peso" de imágenes, etc., que utilizamos normalmente en Astronomía, la velocidad nominal a contratar de una ADSL, debería ser muy superiores a los 10 MB y efectivas, es decir sin pérdidas, para conseguir que las cargas (envíos) con peso del orden de los " 25 MB", como ocupan ciertas imágenes, etc., sean efectuadas sobre los 60 segundos como máximo.
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